Ing. Jaroslav Jirkovský, HUMUSOFT s.r.o.

jirkovsky@humusoft.cz

Pro modelování mechanického tření existují dva přístupy: spojitý a fixační. V první části článku jsou popsány obě metody a jejich volba závisející na modelovaném systému a na účelu simulace. V druhé části je nastíněna konkrétní realizace modelů s mechanickým třením s využitím nástroje MATLAB & Simulink firmy MathWorks a jeho nadstaveb pro fyzikální modelování Simscape, SimDriveline a SimMechanics.

Mechanické tření je výsledkem smykového kontaktu mezi dvěma povrchy, které jsou obvykle suché nebo s mazivem. Tření brání organizovanému pohybu těles a způsobuje disipaci mechanické práce nevratnou přeměnou na teplo. Tření mezi suchými povrchy má nespojitý charakter. Síly jsou úměrné normálové síle působící na povrch a v některých případech závisí i na styčné ploše A.

Velikost koeficientu tření závisí na skluzu nebo relativní rychlosti jen nepatrně, ale změna jejich znaménka způsobuje dynamickou nespojitost, protože následně mění znaménko i třecí síla. Při velmi malém skluzu se suché kinetické tření změní na statické a dojde k přilnutí povrchů k sobě. Tím způsobí kinematickou nespojitost, která ze systému odebere stupeň volnosti.

Statické tření je v podstatě síla omezení a nevykonává žádnou mechanickou práci, což je výjimka z obecně disipativní povahy tření. Suché kinetické přechází na statické a naopak, proto musí být ošetřeny dohromady jako jediná dynamická podmínka. Tato transformace je prakticky okamžitá a odehrává se při velmi malých rychlostech a časech vzhledem k celkové dynamice systému.

Při mazném kluzném tření je kontakt povrchů modifikován mazivem. Tento typ spojitého tření odráží viskózní charakter kapalin, koeficient je přímo úměrný kladné práci při skluzu a při nulovém skluzu mizí.

Numerická simulace dynamických systémů je založena na výpočtech řešení v diskrétních časových intervalech uvnitř pevné simulační periody. Protože jsou změny reálného systému spojité, vnáší diskretizace do výpočtu nepřesnost. Pro řízení této nepřesnosti musíme řídit buď chybu integrace nebo velikost časového kroku. Přesnější výsledky vyžadují menší časový krok což zvýší požadavky na výpočetní výkon. Pro jeho snížení je nutné krok naopak prodloužit čímž se zhorší přesnost řešení. Metody užívané k simulaci tření mohou být dosti náročné a tím významně zasáhnout do tohoto kompromisu. Následující odstavce objasňují jak vhodně provést nastavení, a jak jím budou ovlivněny důležité aplikace jako je návrh řízení nebo simulace v reálném čase.

Volba řešiče je při simulaci tření klíčová. Závisí hlavně na tom, zda bude modelována spojitá nebo fixační aproximace tření. Řešiče obyčejných diferenciálních rovnic (ODE) lze rozdělit do dvou tříd podle toho, zda určují výpočetní krok nebo chybu řešení.

Řešiče s pevným krokem (Fixed-step, FS) specifikují velikost časového kroku a chyba řešení je dána dynamikou systému a dostupnou výpočetní přesností. Tyto řešiče přiřadí danou délku simulovaného časového intervalu k dané délce reálného či hodinového času.

Řešiče s proměnným krokem (Variable-step, VS) specifikují horní mez chyby řešení. Aby zabránili chybám přesahujícím tuto mez, musí měnit velikost kroku. Simulovaný časový interval je daný, ale reálný čas výpočtu je funkcí dynamiky a dostupné výpočetní přesnosti.

Typ řešiče je často klasifikován podle řádu interpolační metody, která prokládá dynamiku systému mezi dvěma časovými kroky. Při modelování fixační aproximace tření je správné nastavení řešiče zásadní. V případě tolerance příliš velké chyby VS řešičů nebo příliš dlouhého časového kroku FS řešičů by nebyl nalezen ani přechod fixace-uvolnění ani by metoda nekonvergovala ke správnému výsledku.

Tření ovlivňuje rozdílné stupně volnosti různými způsoby v odlišných časových měřítkách. Když jsou některé síly větší než ostatní nebo se některé stupně volnosti mění rychleji než jiné, systém je označován jako stiff a pro jeho výpočet je optimální využít stiff ODE řešice. Při použití řešiče, který není určen pro simulaci stiff systémů, bývá problém buď s hledáním správného časového kroku nebo omezením chyby výpočtu.

Nejvíce případů stiff chování v modelování tření je asociováno se statickým třením, kdy fixace a uvolnění nastává ve velmi krátkých časech. Pro numerickou simulaci těchto změn lze použít buď fixační nebo pseudo-fixační aproximaci.

Pseudo-fixační aproximace tření nahrazuje fixaci v blízkosti nulového skluzu pomocí velké viskozity, tj. bez skutečného zablokování (obr.1). Přechod od statického tření ke kinetickému je určen mezí statického tření, jejíž velikost je dána koeficientem |µ| = MUS a působící normálovou silou. Velikost kinetického tření je úměrná koeficientu |µ| = MUK. Zpětný přechod od kinetického tření ke statickému je určen velikostí skluzu v, a nastává při hodnotě |v| = VTH, přičemž již pro hodnoty |v| menší než 1,5*VTH velikost koeficientu tření narůstá. Metoda je snadno implementovatelná a robustní vůči konfliktům mezi stupni volnosti a omezeními. Do systému je však zavedena síla, která je mnohem větší než všechny ostatní a systém pak vykazuje silné stiff chování.

Při simulaci pseudo-fixační aproximace tření podléhají dotčené stupně volnosti drobným změnám a nejsou tedy skutečně blokované
(VTH 0). Tento fakt může zhoršit dosaženou přesnost, jejíž význam záleží na účelu modelu. Pokud model simuluje dynamiku stroje odděleně od částí pro fixaci, které mají formu černé skříňky s nepodstatnou vnitřní dynamikou, je toto řešení efektivní a přijatelné. Čím je pseudo-fixační aproximace tření jako funkce skluzu hladší (více diferenciovatelná), tím je kompromis mezi simulační rychlostí a přesností příznivější.

Pseudo-fixační aproximace obecně selhává v následujících situacích:

V případě fixační aproximace tření se ze systému odstraní blokovaný stupeň volnosti předepsáním dodatečné podmínky. Tento stav trvá tak dlouho, dokud je podmínka splněna, proto musí být opakovaně testována její platnost. Fixační podmínka je aplikována na relativní pohyb smýkajících se povrchů. Jestliže je skluz dostatečně malý (v definovaném rozsahu rychlostí blízkých nule), povrchy se k sobě "přilepí". Sami pak dodávají jakékoli potřebné statické tření, které zabrání jejich odlepení. Fixace je obvykle zrušena až poté, kdy ve směru kontaktních povrchů těles zapůsobí externí síla dostatečně velká k překonání tření. Tato dvě klíčová čísla - práh minimální rychlosti a limit statického tření - charakterizují přechod od kinetického tření ke statickému a naopak. Tento přechod je typický pro suché povrchy.

Nevýhodou metody je specifikace fixačních podmínek a opakované testovaní pohybu a sil pro zjišťování jejich platnosti, které přerušuje simulaci a v případě potřeby odstraňuje nebo obnovuje stupně volnosti. Simulace aplikuje iterativní algebraické testy typu detekce průchodu nulou (zero-crossing detection, ZCD) a vytváří algebraické smyčky. ZCD často dělá simulaci tření výpočetně náročnou jakož i obtížně laditelnou a kombinovatelnou s ostatními podmínkami.

Tento postup aplikující algebraické testy v jednom simulačním čase je možný i s řešičem s pevným krokem (FS), který má dáno přiřazení simulačního času k reálnému. Nelze s ním však zjemnit detekci fixací a uvolnění nebo odhad skutečného času výskytu těchto událostí, protože průběh simulovaného času nemůže být po dobu adaptivního testování fixačních podmínek pozastaven. Namísto toho mohou být podmínky kontrolovány v po sobě jdoucích pevných simulovaných časech, ale tento přístup dále snižuje přesnost simulace. Testování realistického dynamického omezení vyžaduje řešič s proměnnou délkou kroku (VS), který může lépe aproximovat okamžitý přechod a je schopen vzít si tolik hodinového času, kolik je potřeba k dosažení dané přesnosti řešení.

Zásadní komplikace při návrhu řízení systémů se třením vzniká při pokusu o linearizaci simulačního modelu hledáním jeho ustálených stavů a stanovením odezvy na malé změny. Tato problematika zahrnuje prohledávání různých kombinací fixovaných a uvolněných stupňů volnosti za současného hledání mezi stupni volnosti nepodléhajícími tření pomocí plynulých změn.

V praxi musí být hledání ustáleného stavu provedeno ve dvou etapách. Nejprve se hledají diskrétní fixované a uvolněné stavy a poté se přejde k hledání stavů spojitých. Každá etapa může vyžadovat více iterací. Metody, které mění stavy pouze spojitě v přítomnosti fixací nefungují tj. konfigurace blokovaných a uvolňovaných stupňů volnosti musí být neměnná. Při hledání ustálených stavů systému se třením má pseudo-fixační aproximace se stiff řešičem oproti skutečným fixačním metodám velkou výhodu.

Simulace v reálném čase obecně předpokládají řešiče s pevným krokem, neboť simulace musí být dokončena v daném čase. Když se do simulace přidá statické tření, je možné použít jedno z následujících vzájemně výlučných řešení:

Fixační aproximace tření je navzdory své větší výpočetní náročnosti a složitosti v některých situacích vhodnější. Blokování a uvolňování je reálnější, dovoluje korektně modelovat omezení a umožňuje reprezentovat širší škálu reálných situací, včetně přítomnosti gravitace a dalších externích sil.

SimDriveline a SimMechanics obsahují několik bloků pro simulaci fixační aproximace tření. Jsou to Joint Stiction Actuator (JSA) v SimMechanics a Controllable Friction Clutch (CFC) nebo Fundamental Friction Clutch (FFC) v SimDriveline. SimMechanics také obsahuje knihovnu mech_friction s příklady zjednodušených modelů tření založených na bloku JSA. Bloky využívají k modelování fixace a uvolnění detekci průchodu nulou. Pokud se k fixačnímu tření nepřidá žádná trvalá síla se stiff chováním a pokud je délka kroku malá, je možné použít normální řešič. Specializované bloky pro tření jsou dostupné také v nadstavbách Simscape a Stateflow. Stateflow slouží k modelování událostmi řízených procesů a přináší alternativní přístup pro modelování přechodů mezi blokovanými a uvolněnými stavy.

Příklady systémů se třením a jejich modely v Simulinku ilustrují obě modelovací metody s jejich požadavky.

Model pístu s vertikálně působícím kontaktním třením (obr.2) byl vytvořen pomocí fixační i pseudo-fixační aproximace.

Vertikální pohyb je modelován v SimMechanics se stiff VS řešičem středního řádu. Píst je vertikálně poháněn oscilující silou. Během pohybu dochází ke tření na styčné ploše mezi pístem a vnitřní stěnou válce. To způsobuje přechody mezi statickým a kinetickým třením, jejichž velikosti jsou úměrné k horizontální normálové síle mezi pístem a válcem. Gravitace zde není uvažována.

Simulace kinetického tření nezpůsobuje žádné obtíže kromě případu stiff chování a nespojitosti sil. Pro návrh a obecné účely poskytuje VS řešič adekvátní přesnost i efektivitu. FS řešiče jsou spíše vyhrazeny pro aplikace v reálném čase nebo případy, kdy VS řešiče selžou. Vždy je dobré prozkoumat průběh a relativní velikost sil v systému z důvodu stiff chování a nespojitosti a v případě potřeby zvolit k výpočtu stiff řešič.

Pseudo-fixační aproximace tření je modelována pomocí závislosti velikosti třecí síly na hodnotě skluzu. Tato síla je pak zavedena do dynamického modelu pístu.

Ve fixační variantě je na vertikální pohyb pístu aplikován podsystém Coulombova tření s JSA blokem nastaveným k vytvoření středně velké přilnavé síly (obr.3).

Simulace vyvolává algebraickou smyčku k řešení fixace a uvolňování stupňů volnosti. V grafech (obr.4) je vidět průběh dynamických (silových) a kinematických (fixačních) nespojitostí při pohybu pístu spolu s účinkem kinetického tření během smyku. Dále je zobrazen průběh vertikální reakční síly mezi pístem a válcem. Během přilnutí je tato reakce silou statického omezení.

Pro automobilovou spojku byly vytvořeny dva modely s rozdílnou aproximací tření. První představoval nereálné kinetické tření s nespojitou změnou znaménka při nulovém skluzu bez blokace stupně volnosti, simulovaný standardním FS řešičem. Tento typ řešiče pomíjí nespojitosti a efektivně počítá spojitou dynamiku. Druhý model modifikoval tření pomocí pseudo-fixační aproximace. Tření je jako funkce skluzu konstantní až na oblast blízkou nule, kde se hladce, avšak strmě mění znaménko. Taková stiff síla vyžaduje buď stiff VS řešič středního řádu nebo FS řešič s malým krokem. Silné stiff chování udržuje během statického tření skluz na nepatrné hodnotě.

Hledání rovnovážného stavu a linearizace jsou pro spojitý systém tohoto druhu poměrně jednoduché. Je však třeba dát pozor na rozlišení účinku stiff sil aproximujících statické tření od ostatních. Např. při linearizaci tohoto modelu ve fázi statického tření (pseudo-fixace) může vytvořit nereálné, vysoce tlumené stupně volnosti, které by měli být odstraněny.

Model automobilové převodovky v SimDriveline sestává ze šesti spojek (obr.5). Pět z nich je spojených do čtyřstupňové převodovky, poslední spojka je brzdová. Převodovka přenáší výkon ze vstupního na výstupní hřídel právě tehdy, když jsou dvě z jejích čtyř dopředných spojek sepnuty. Kdyby bylo sepnuto spojek více, nastal by konflikt stupňů volnosti, kdyby méně, převodovka by nic nepřenášela. Každá spojka je reprezentována Controllable Friction Clutch (CFC) blokem. Pohyb je simulován standardním VS řešičem vysokého řádu, který je za předpokladu rozumně nastavené tolerance chyby přesnou a efektivní metodou.

Simulace s mnoha fixačními stupni volnosti je důležitou technickou aplikací naprosto nezbytnou pro modelování v automobilovém průmyslu. Problematika vznikající při simulaci jednoho fixačního stupně volnosti je zde znásobena. Také je nutné se vyhnout konfliktům mezi současně blokovanými stupni volnosti a zároveň udržet korektně blokované stupně volnosti tak, aby přenášely pohyb, sílu a výkon dle požadavků návrhu.

Tření představuje specifický fenomén, který nelze při realistickém modelování dynamických soustav pominout. V článku byly představeny základní možnosti, jak lze mechanické tření aproximovat a nastíněno několik příkladů jejich použití. Volba vhodné aproximace je však vždy úzce svázána s konkrétním problémem, proto neexistuje přesný návod na její určení, pouze výčet možných doporučení a omezení.

Distributor produktů společnosti The MathWorks v České republice a na Slovensku: